排中律と二重否定除去をTyped Racketで実装する
Qiita を退会したときに消えてしまった記事を復元したものです。
排中律と二重否定除去をSMLで実装するという記事で、Typed Racket という静的型のあるSchemeがあるらしいと噂されていたため、Typed Racket を使って実装してみました。
上記の記事を読んでから先に進んでください。
Typed Racket で直和型を表現する
最初に直面したのはUnion Typesは直和型ではないという問題でした。(上の記事ではTypeScriptのUnion Typesについて説明されていますが、Typed RacketのUnion Typesについても同様のことが言えます)
Typed Racket で直和型を表現するためにleft
,right
という構造体をそれぞれ用意して、(U (Left A) (Right B))
へのエイリアスとしてEither
を定義することにしました。
#lang typed/racket
(struct (A) right ([value : A])
#:type-name Right)
(struct (A) left ([value : A])
#:type-name Left)
(define-type (Either A B) (U (Left A) (Right B)))
Typed Racketで爆発律と否定を実装する
Typed Racket ではNothing
という値を持たない型があり、元記事でvoid
と定義されていた型と対応しています。Nothing
型を利用するとabsurd
とnot
型は以下のように実装することができます。
(: absurd (All (A) (-> Nothing A)))
(define (absurd x)
(absurd x))
(define-type (Not A) (-> A Nothing))
Typed Racketによる排中律の実装
では、Typed Racket で排中律を実装してみましょう。Typed Racket では0個の引数をとる手続きが書けるので、excluded-middle
の型は(-> (Either A (Not A)))
とするのが自然だと思われます。また、Typed Racket ではある型Aの値を受けとる継続は(-> A Nothing)
のようなNothing
型を戻り値とする手続きであることに注意してください(これは呼ばれたら決して戻ってこないことを意味しています)。
(: excluded-middle (All (A) (-> (Either A (Not A)))))
(define (excluded-middle)
(call/cc
(lambda ([k : (-> (Either A (Not A)) Nothing)])
(right (lambda ([x : A])
(k (left x)))))))
(let ([x : (Either String (Not String)) (excluded-middle)])
(cond
[(left? x)
(displayln (left-value x))]
[else
(display "Hello ")
((right-value x) "world!")]))
元記事の例と同様に Hello world! と出力されるはずです。
Typed Racketによる二重否定の除去の実装
元記事の演習問題の解答に相当するため、自分で解きたい人は飛ばしてください。 ただ、Union Typesがないと使用例が動かない気がするので、これだとSMLでは動かないような……。
(: double-negative-elimination (All (A) (-> (Not (Not A)) A)))
(define (double-negative-elimination not-not-a)
(let ([f : (Either A (Not A)) (excluded-middle)])
(cond
[(left? f)
(left-value f)]
[else
(not-not-a (right-value f))])))
(let ([x (call/cc
(lambda ([k : (Not (Not String))])
(double-negative-elimination k)))])
(if (string? x)
(displayln x)
(x "Hello world!")))
Hello world! と出力されます。
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